![\"\"](\"https:\/\/atlassztuki.pl\/wp-content\/uploads\/2011\/09\/35.jpg\")
Inny wsp\u00f3lny mianownik obu dziedzin to aspekt estetyczny. Z mojej (nieco naiwnej) obserwacji wnioskuj\u0119, \u017ce artysta, tworz\u0105c obraz lub rze\u017ab\u0119, dba, aby jego dzie\u0142o porusza\u0142o odbiorc\u0119. Cz\u0119sto polega to na odniesieniu do natury, ale tak\u017ce na skojarzeniach bardziej abstrakcyjnych. Matematyk (a uwa\u017cam si\u0119 za matematyka) te\u017c musi dba\u0107 o estetyk\u0119 swoich artyku\u0142\u00f3w \u2013 nawet, je\u015bli jego (z trudem osi\u0105gni\u0119ty) wynik jest wa\u017cny, ale niezrozumiale zredagowany, nie b\u0119dzie opublikowany w renomowanym czasopi\u015bmie. Inn\u0105 spraw\u0105 jest kwestia \u201emody\u201d w obu dziedzinach, ale nie b\u0119d\u0119 si\u0119 nad ni\u0105 zatrzymywa\u0142.<\/p>\n\n\n\n
Znaczna cz\u0119\u015b\u0107 tw\u00f3rczo\u015bci Stefana Krygiera ma zwi\u0105zki z matematyk\u0105, a \u015bci\u015blej: z geometri\u0105 i tak zwanymi fraktalami.<\/p>\n\n\n\n
Geometria jest jedn\u0105 z trzech g\u0142\u00f3wnych ga\u0142\u0119zi matematyki, pozosta\u0142e to algebra i analiza. W\u0142a\u015bnie figury geometryczne najcz\u0119\u015bciej pojawiaj\u0105 si\u0119 w sztuce, gdzie s\u0105 nazywane formami. W\u0142adys\u0142aw Strzemi\u0144ski, nauczyciel Stefana Krygiera, by\u0142 nowatorem w tym obszarze. Spotka\u0142em si\u0119 z wykorzystywaniem teorii liczb (dzia\u0142u algebry) w sztuce (Garc\u00eda), ale analiza jest raczej odporna na artystyczne zakusy.<\/p>\n\n\n\n
Niezwykle wa\u017cnym zjawiskiem, wyst\u0119puj\u0105cym w praktycznie wszystkich dziedzinach nauki i sztuki, jest symetria. M\u00f3wimy, \u017ce dana figura geometryczna jest symetryczna, je\u015bli istnieje nietrywialne przekszta\u0142cenie (izometria) tej figury w siebie. Wszystkie takie przekszta\u0142cenia tworz\u0105 grup\u0119 zwan\u0105 grup\u0105 symetrii figury.<\/p>\n\n\n\n Najprostszym przyk\u0142adem jest symetria zwierciadlana – grupa symetrii jest dwuelementowa, bo dwukrotne powt\u00f3rzenie (podw\u00f3jna iteracja) odbicia lustrzanego prowadzi do przekszta\u0142cenia identyczno\u015bciowego. Innym przyk\u0142adem jest grupa cykliczna rz\u0119du n, kt\u00f3ra sk\u0142ada si\u0119 z obrot\u00f3w wok\u00f3\u0142 ustalonej osi w przestrzeni (lub wok\u00f3\u0142 punktu na p\u0142aszczy\u017anie) o k\u0105ty b\u0119d\u0105ce krotno\u015bciami k\u0105ta 3600\/n; jest ona generowana przez jeden element, obr\u00f3t o k\u0105t 3600\/n, kt\u00f3rego n-krotna iteracja jest identyczno\u015bci\u0105. Ale istniej\u0105 bardziej z\u0142o\u017cone grupy. Na przyk\u0142ad, grupa symetrii sze\u015bcianu sk\u0142ada si\u0119 z 24 przekszta\u0142ce\u0144 i nie jest cykliczna. Istniej\u0105 te\u017c grupy niesko\u0144czone, gdzie opr\u00f3cz obrot\u00f3w (lub odbi\u0107) wyst\u0119puj\u0105 dodatkowo przesuni\u0119cia. Takiej symetrii (co prawda, tylko lokalnie) podlega, na przyk\u0142ad, uk\u0142ad p\u0119k\u00f3w na \u0142odydze.<\/p>\n\n\n\n Pi\u0119knie o symetrii w przyrodzie i sztuce klasycznej pisze H. Weyl w ksi\u0105\u017cce Symetria<\/em>. Bez poj\u0119cia symetrii fizycy nie byliby w stanie zrozumie\u0107 zjawisk kwantowych i w\u0142asno\u015bci cz\u0105stek elementarnych. (Ciekawe, kiedy arty\u015bci odkryj\u0105 niezwyk\u0142y \u015bwiat fizyki kwantowej?).<\/p>\n\n\n\n Oczywi\u015bcie arty\u015bci nie musz\u0105 kopiowa\u0107 rysunk\u00f3w z podr\u0119cznik\u00f3w do geometrii lub biologii. Maj\u0105 oni swoje sposoby, aby odkry\u0107 i uwieczni\u0107 symetrie (by\u0107 mo\u017ce niepe\u0142ne) w tworzonych przez siebie formach. Bardzo dobrze to wida\u0107 w O\u015brodku Kondensacji Formy<\/em>, Konfliktach<\/em>, Kolineacjach<\/em> czy w Przekszta\u0142ceniu sze\u015bcianu<\/em> autorstwa Stefana Krygiera.<\/p>\n\n\n\n Bardzo wdzi\u0119cznymi obiektami geometrycznymi s\u0105 fraktale. Samo s\u0142owo \u201efraktal\u201d wyra\u017ca fakt, \u017ce taki obiekt ma u\u0142amkowy (po angielsku fractional<\/em>) wymiar. Istniej\u0105 fraktale na p\u0142aszczy\u017anie, kt\u00f3re maj\u0105 wymiar pomi\u0119dzy 1 i 2: gdy mierzymy ich d\u0142ugo\u015b\u0107, to wychodzi niesko\u0144czono\u015b\u0107, a gdy mierzymy ich pole, to dostajemy zero. Przyk\u0142adowo, wymiar linii brzegowej Norwegii na mapie wynosi oko\u0142o 1,52.<\/p>\n\n\n\n Bardzo popularne jest produkowanie obiekt\u00f3w fraktalnych na komputerze. Jest to na tyle proste poj\u0119ciowo, \u017ce pokusz\u0119 si\u0119 o opisanie odpowiedniego przyk\u0142adu. Niech A b\u0119dzie kwadratem na p\u0142aszczy\u017anie o boku 1 oraz niech f1 i f2 b\u0119d\u0105 prostymi (afinicznymi) przekszta\u0142ceniami p\u0142aszczyzny takimi, \u017ce ka\u017cde z nich przekszta\u0142ca A na czworobok, f1(A) lub f2(A), kt\u00f3ry le\u017cy \u015bci\u015ble wewn\u0105trz A. Wybierzmy dowolny punkt x0 z A i przy\u0142\u00f3\u017cmy do niego albo przekszta\u0142cenie f1albo przekszta\u0142cenie f2, ka\u017cde z okre\u015blonym prawdopodobie\u0144stwem. Otrzymamy punkt x1r\u00f3wny albo f1(x0) albo f2(x0); oczywi\u015bcie, x1 le\u017cy w A. To samo powtarzamy w odniesieniu do punktu x1 i dostajemy x2=f1(x1) lub x2=f2(x1), itd. Okazuje si\u0119, \u017ce otrzymany w ten spos\u00f3b ci\u0105g punkt\u00f3w xn przy du\u017cych n zaczyna uk\u0142ada\u0107 si\u0119 w zbi\u00f3r fraktalny, kt\u00f3ry jako \u017cywo przypomina li\u015b\u0107 paproci.<\/p>\n\n\n\n B. Mandelbrot (zmar\u0142y w zesz\u0142ym roku matematyk polskiego pochodzenia) by\u0142 prekursorem teorii fraktali. Istnieje tak zwany \u201ezbi\u00f3r Mandelbrota\u201d, kt\u00f3ry mo\u017cna \u0142atwo wygenerowa\u0107 na komputerze (z pomoc\u0105 prostego przekszta\u0142cenia p\u0142aszczyzny w siebie) i kt\u00f3ry ma bardzo skomplikowan\u0105 (i nie do ko\u0144ca zbadan\u0105) struktur\u0119. Znany fizyk R. Penrose w ksi\u0105\u017cce Nowy umys\u0142 cesarza podaje zbi\u00f3r Mandelbrota jako przyk\u0142ad na u\u0142omno\u015b\u0107 (nierekurencyjno\u015b\u0107) formalnej matematyki i na dzie\u0142o sztuki odkryte (nie stworzone) przez cz\u0142owieka.<\/p>\n\n\n\n Wa\u017cn\u0105 cech\u0105 wi\u0119kszo\u015bci figur fraktalnych jest ich samopodobie\u0144stwo: je\u015bli tak\u0105 figur\u0119 odpowiednio pomniejszymy i przesuniemy, to na\u0142o\u017cy si\u0119 ona dok\u0142adnie na w\u0142a\u015bciwy podzbi\u00f3r wyj\u015bciowej figury. Mo\u017cna powiedzie\u0107, \u017ce figura w ma\u0142ej skali jest taka sama jak w du\u017cej skali \u2013 tak jest w przypadku komputerowego li\u015bcia paproci.<\/p>\n\n\n\n W\u0142a\u015bnie samopodobie\u0144stwo wyst\u0119puje w wielu obrazach Stefana Krygiera: Multiplikacja<\/em>, Przestrze\u0144<\/em> konkretna<\/em>, Eo<\/em> ipso<\/em>, a nawet w obrazach inspirowanych sztuk\u0105 antyczn\u0105. Trzeba te\u017c przyzna\u0107, \u017ce samopodobie\u0144stwo w obrazach Stefana Krygiera wyst\u0119puje tylko w ograniczonej skali. Niemniej, skojarzenie z fraktalami jest nieodparte. R\u00f3wnie\u017c w jego kompozycjach O\u015brodka Kondensacji Formy<\/em> mo\u017cna dopatrze\u0107 si\u0119 cech fraktalnych.<\/p>\n\n\n\n Na koniec chcia\u0142bym odnie\u015b\u0107 si\u0119 do takich obraz\u00f3w Stefana Krygiera, jak Czarna kula<\/em>, …dla Giorgione <\/em>czy Uczta u Lukrecji Borgii<\/em>. Wed\u0142ug mnie ich podstawow\u0105 cech\u0105 jest natarczywa tr\u00f3jwymiarowo\u015b\u0107. Artysta t\u0142umaczy\u0142 to na sw\u00f3j spos\u00f3b (chodzi\u0142o mu o wydobycie na pierwszy plan pewnych ukrytych cech), ale dla mnie jest to interesuj\u0105ce z geometrycznego punktu widzenia.<\/p>\n\n\n\n Prof. dr hab. Henryk \u017bo\u0142\u0105dek kieruje Zak\u0142adem Uk\u0142ad\u00f3w Dynamicznych na Wydziale Matematyki, Infor- matyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Jest autorem ponad 70 prac naukowych z matema- tyki.<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Henryk \u017bo\u0142\u0105dek<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[65],"tags":[166],"class_list":["post-15079","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-artykuly","tag-stefan_krygier"],"acf":[],"1_4_image":null,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/atlassztuki.pl\/en\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/15079","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/atlassztuki.pl\/en\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/atlassztuki.pl\/en\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/atlassztuki.pl\/en\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/atlassztuki.pl\/en\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=15079"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/atlassztuki.pl\/en\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/15079\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":15092,"href":"https:\/\/atlassztuki.pl\/en\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/15079\/revisions\/15092"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/atlassztuki.pl\/en\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=15079"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/atlassztuki.pl\/en\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=15079"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/atlassztuki.pl\/en\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=15079"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}![\"\"](\"https:\/\/atlassztuki.pl\/wp-content\/uploads\/2011\/09\/12.jpg\")
![\"\"](\"https:\/\/atlassztuki.pl\/wp-content\/uploads\/2011\/09\/24-1-1024x826.jpg\")